Признаки деления на 2 5 и 10. Делимость натуральных чисел

Признаки делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 и другие числа полезно знать для быстрого решения задач на Цифровую запись числа. Вместо того, чтобы делить одно число на другое, достаточно проверить ряд признаков, на основании которых можно однозначно определить, делится ли одно число на другое нацело (кратно ли оно) или нет.

Основные признаки делимости

Приведем основные признаки делимости чисел :

• Признак делимости числа на «2» Число делится нацело на 2, если число является четным (последняя цифра равна 0, 2, 4, 6 или 8)
  Пример: Число 1256 кратно 2, поскольку оно заканчивается на 6. А число 49603 не делится нацело на 2, поскольку оно заканчивается на 3.
• Признак делимости числа на «3» Число делится нацело на 3, если сумма его цифр делится на 3
  Пример: Число 4761 делится на 3 нацело, поскольку сумма его цифр равна 18 и она делится на 3. А число 143 не кратно 3, поскольку сумма его цифр равна 8 и она не делится на 3.
• Признак делимости числа на «4» Число делится нацело на 4, если последние две цифры числа равны нулю или число, составленное из двух последних цифр, делится на 4
  Пример: Число 2344 кратно 4, поскольку 44 / 4 = 11. А число 3951 не делится нацело на 4, поскольку 51 на 4 не делится.
• Признак делимости числа на «5» Число делится нацело на 5, если последняя цифра числа равна 0 или 5
  Пример: Число 5830 делится нацело на 5, поскольку оно заканчивается на 0. А число 4921 не делится на 5 нацело, поскольку оно заканчивается на 1.
• Признак делимости числа на «6» Число делится нацело на 6, если оно делится нацело на 2 и на 3
  Пример: Число 3504 кратно 6, поскольку оно заканчивается на 4 (признак делимости на 2) и сумма цифр числа равна 12 и она делится на 3 (признак делимости на 3). А число 5432 на 6 нацело не делится, хотя число заканчивается на 2 (соблюдается признак делимости на 2), однако сумма цифр равна 14 и она не делится на 3 нацело.
• Признак делимости числа на «8» Число делится нацело на 8, если три последние цифры числа равны нулю или число, составленное из трех последних цифр числа, делится на 8
  Пример: Число 93112 делится нацело на 8, поскольку число 112 / 8 = 14. А число 9212 не кратно 8, поскольку 212 не делится на 8.
• Признак делимости числа на «9» Число делится нацело на 9, если сумма его цифр делится на 9
  Пример: Число 2916 кратно 9, поскольку сумма цифр равна 18 и она делится на 9. А число 831 не делится на 9 нацело, поскольку сумма цифр числа равна 12 и она не делится на 9.
• Признак делимости числа на «10» Число делится нацело на 10, если оно заканчивается на 0
  Пример: Число 39590 делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается на 0. А число 5964 не делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается не на 0.
• Признак делимости числа на «11» Число делится нацело на 11, если сумма цифр, стоящих на нечетных местах, равна сумме цифр, стоящих на четных местах или суммы должны отличаться на 11
  Пример: Число 3762 делится нацело на 11, поскольку 3 + 6 = 7 + 2 = 9. А число 2374 на 11 не делится, поскольку 2 + 7 = 9, а 3 + 4 = 7.
• Признак делимости числа на «25» Число делится нацело на 25, если оно заканчивается на 00, 25, 50 или 75
  Пример: Число 4950 кратно 25, поскольку оно заканчивается на 50. А 4935 не делится на 25, поскольку заканчивается на 35.

Признаки делимости на составное число

Чтобы узнать, делится ли заданное число на составное, нужно разложить это составное число на взаимно простые множители , признаки делимости которых известны. Взаимно простые числа - это числа, не имеющие общих делителей кроме 1. Например, число делится нацело на 15, если оно делится нацело на 3 и на 5.

Рассмотрим другой пример составного делителя: число делится нацело на 18, если оно делится нацело на 2 и 9. В данном случае нельзя раскладывать 18 на 3 и 6, поскольку они не являются взаимно простыми, так как имеют общий делитель 3. Убедимся в этом на примере.

Число 456 делится на 3, так как сумма его цифр равна 15, и делится на 6, так как оно делится и на 3 и на 2. Но если разделить 456 на 18 вручную, то получится остаток. Если же для числа 456 проверять признаки делимости на 2 и 9, сразу же видно, что оно делится на 2, но не делится на 9, так как сумма цифр числа равна 15 и она не делится на 9.

Определение 1. Говорят, что натуральное число a делится на натуральное число b , если существует такое натуральное число c, что выполняется равенство

В противном случае говорят, что число a не делится начисло b.

Если число a больше, чем число b, и не делится на число b, то число a можно разделить на число b с остатком .

Определение 2. Деление числа a на число b с остатком означает, что найдутся такие натуральные числа c и r , что выполняются соотношения

a = bc + r, r < b .

Число b называется делителем , число c - частным , а число r - остатком от деления a на b .

Еще раз особо подчеркнем, что остаток r всегда меньше, чем делитель b .

Например, число 204 не делится на число 5 , но, разделив число 204 на 5 с остатком , получаем:

Таким образом, частное от деления равно 40 , а остаток равен 4 .

Определение 3. Числа, делящиеся на 2 , называют четными , а числа, которые не делятся на 2 , называют нечетными .

Признаки делимости

Для того, чтобы быстро выяснить, делится ли одно натуральное число на другое, существуют признаки делимости .

Признак делимости на	Формулировка	Пример
2	Число : 0 , 2 , 4 , 6 , 8	1258
3	Сумма цифр числа должна делиться на 3	745 , (7 + 4 + 5 = 15 )
4	Число, образованное на 4	7924
5	Число должно оканчиваться цифрой 0 или 5	835
6	Число должно делиться на 2 и на 3	234 , (2 + 3 + 4 = 9 )
7	На 7 должно делиться число, полученное	3626 , (362 - 12 = 350 )
8	Число, образованное на 8	63024
9	Сумма цифр должна делиться на 9	2574 , (2 + 5 + 7 + 4 = 18 )
10	Число должно оканчиваться 0	1690
11	Сумма цифр , стоящих на четных местах , либо равна сумме цифр , стоящих на нечетных места х, либо отличается от нее на число, делящееся на 11	1408 , (4 + 8 = 12 ; 1 + 0 = 1 ; 12 - 1 = 11 )
13	На 13 должно делиться число, полученное	299 , (29 + 36 = 65 )
25	Число должно оканчиваться на 00 , 25 , 50 или 75	7975
50	Число должно оканчиваться на 00 или 50	2957450
100	Число должно оканчиваться на 00	102300
1000	Число должно оканчиваться на 000	3217000

Признак делимости на 2

Формулировка признака: Число должно оканчиваться четной цифрой : 0 , 2 , 4 , 6 , 8 1258

Признак делимости на 3

Формулировка признака: Сумма цифр числа должна делиться на 3 745 , (7 + 4 + 5 = 15 )

Признак делимости на 4

Формулировка признака: Число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на 4 7924

Признак делимости на 5

Формулировка признака: Число должно оканчиваться цифрой 0 или 5

Признак делимости на 6

Формулировка признака: Число должно делиться на 2 и на 3 234 , (2 + 3 + 4 = 9 )

Признак делимости на 7

Формулировка признака: На 7 должно делиться число, полученное вычитанием удвоенной последней цифры из исходного числа с отброшенной последней цифрой 3626 , (362 - 12 = 350 )

Признак делимости на 8

Формулировка признака: Число, образованное тремя последними цифрами, должно делиться на 8 63024

Признак делимости на 9

Формулировка признака: Сумма цифр должна делиться на 9 2574 , (2 + 5 + 7 + 4 = 18 )

Признак делимости на 10

Формулировка признака: Число должно оканчиваться 0 1690

Признак делимости на 11

Формулировка признака: Сумма цифр , стоящих на четных местах , либо равна сумме цифр , стоящих на нечетных места х, либо отличается от нее на число, делящееся на 11 1408 , (4 + 8 = 12 ; 1 + 0 = 1 ; 12 - 1 = 11 )

Признак делимости на 13

Формулировка признака: На 13 должно делиться число, полученное добавлением учетверенной последней цифры к исходному числу с отброшенной последней цифрой 299 , (29 + 36 = 65 )

Признак делимости на 25

Формулировка признака: Число должно оканчиваться на 00 , 25 , 50 или 75 7975

Признак делимости на 50

Формулировка признака: Число должно оканчиваться на 00 или 50 2957450

Признак делимости на 100

Формулировка признака: Число должно оканчиваться на 00 102300

Признак делимости на 1000

Формулировка признака: Число должно оканчиваться на 000 3217000

На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике .

Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

У нас также для школьников организованы

Для упрощения деления натуральных чисел были выведены правила деления на числа первого десятка и числа 11, 25, которые объединены в раздел признаков делимости натуральных чисел . Ниже приводятся правила, по которым анализ числа без его деления на другое натуральное число даст ответ на вопрос, кратно ли натуральное число числам 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 и разрядной единице?

Натуральные числа, имеющие в первом разряде цифры (оканчивающиеся на) 2,4,6,8,0, называются четными.

Признак делимости чисел на 2

На 2 делятся все четные натуральные числа, например: 172, 94,67 838, 1670.

Признак делимости чисел на 3

На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3. Например:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).

Признак делимости чисел на 4

На 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых составляют нули или число, кратное 4. Например:
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).

Признак делимости чисел на 5

Признак делимости чисел на 6

На 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно (все четные числа, которые делятся на 3). Например: 126 (б — четное, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).

Признак делимости чисел на 9

На 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9. Например:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).

Признак делимости чисел на 10

Признак делимости чисел на 11

На 11 делятся только те натуральные числа, у которых сумма цифр, занимающих четные места, равна сумме цифр, занимающих нечетные места, или разность суммы цифр нечетных мест и суммы цифр четных мест кратна 11. Например:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 и 0 + 7 + 7 = 14);
9 163 627 (9 + 6 + б + 7 = 28 и 1 + 3 + 2 = 6);
28 — 6 = 22; 22: 11 = 2).

Признак делимости чисел на 25

На 25 делятся те натуральные числа, две последние цифры которых - нули или составляют число, кратное 25. Например:
2 300; 650 (50: 25 = 2);

1 475 (75: 25 = 3).

Признак делимости чисел на разрядную единицу

На разрядную единицу делятся те натуральные числа, у которых количество нулей больше или равно количеству нулей разрядной единицы. Например: 12 000 делится на 10, 100 и 1000.

Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на 4.

Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).

Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 - (2 · 9) = 7 делится на 7).

Признак делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.

Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 делится на 11) - следствие факта, что все числа вида 10 n при делении на 11 дают в остатке (-1) n .

Признак делимости на 12
Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

Признак делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104 делится на 13).

Признак делимости на 14
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Признак делимости на 15
Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)

Признак делимости на 19
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19).

Признак делимости на 23
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414 продолжаем 4 + (3 * 14) = 46 очевидно делится на 23).

Признак делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75)или число кратно 5.

Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.

Признак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).

В этой статье изучим признаки делимости на 10, 100, 1 000 и так далее. Сначала дадим их формулировки и приведем примеры применения указанных признаков делимости. После этого докажем признаки делимости на 10 , 100 , 1 000 , … В заключение рассмотрим примеры доказательства делимости на 10 , 100 , 1 000 и т.д. с использованием формулы бинома Ньютона и метода математической индукции.

Навигация по странице.

Признаки делимости на 10, 100, 1 000 и т.д., примеры

Сформулируем сначала признак делимости на 10 : если последняя цифра в записи целого числа есть 0 , то такое число делится на 10 ; если же последняя цифра в записи числа отлична от 0 , то такое число не делится на 10 .

Формулировка признака делимости на 100 такова: если две последние цифры в записи целого числа являются нулями, то такое число делится на 100 ; если же хотя бы одна из двух последних цифр числа отлична от цифры 0 , то такое число на 100 на делится.

Аналогично формулируются признаки делимости на 1 000 , 10 000 и так далее, в них лишь речь идет о последних трех, четырех и так далее нулях в записи целого числа.

Отдельно нужно сказать, что приведенные признаки делимости на 10 , 100 , 1 000 и т.д. не распространяются лишь на число нуль. Мы знаем, что нуль делится на любое целое число. В частности, нуль делится и на 10 , и на 100 , и на 1 000 , и т.д.

Озвученные признаки делимости на 10 , 100 , 1 000 , … очень легко и удобно применять на практике, для этого нужно исследовать нужное количество последних цифр в записи числа. Рассмотрим примеры применения признаков делимости на 10, 100, 1 000 , …

Пример.

Какие из целых чисел 500 , −1 010 , −50 012 , 440 000 300 000 , 67 893 делятся на 10 ? Какие из этих чисел делятся на 10 000 ? А какие числа не делятся на 100 ?

Решение.

Признак делимости на 10 позволяет нам утверждать, что числа 500 , −1 010 , 440 000 300 000 делятся на 10 , так как в их записи последней цифрой является 0 , а числа −50 012 и 67 893 на 10 не делятся, так как их записи оканчиваются цифрами 2 и 3 соответственно.

На 10 000 делится лишь число 440 000 300 000 , так как только в его записи справа находится четыре цифры 0 .

Основываясь на признаке делимости на 100 , мы можем сказать, что на 100 не делятся числа −1 010 , −50 012 и 67 893 , так как в их записях две последние цифры не являются цифрами 0 .

Ответ:

500 , −1 010 , 440 000 300 000 делятся на 10 ; 440 000 300 000 делится на 10 000 ; 1 010 , −50 012 и 67 893 не делятся на 100 .

Доказательство признаков делимости на 10, 100, 1 000 и т.д.

Покажем доказательство признака делимости на 10 . Для удобства переформулируем этот признак в виде необходимого и достаточного условия делимости на 10 .

Теорема.

Для делимости целого числа на 10 необходимо и достаточно, чтобы в его записи последней цифрой была цифра 0 .

Доказательство.

Сначала докажем необходимость. Пусть целое число a делится на 10 , докажем, что в этом случае в записи числа a последней цифрой является цифра 0 .

Так как a делится на 10 , то по понятию делимости существует такое целое число q , что a=10·q . Из правила умножения на 10 следует, что произведение 10·q равно целому числу, запись которого получается из записи числа q , если в ней справа дописать цифру 0 . Таким образом, последней цифрой в записи числа a=10·q является цифра 0 . Так доказана необходимость.

Переходим к доказательству достаточности. Пусть в записи целого числа a последней цифрой является 0 , докажем, что число a в этом случае делится на 10 .

Если в записи целого числа последней цифрой является 0 , то такое число в силу правила умножения на 10 можно представить как a=a 1 ·10 , где запись числа a 1 получается из записи числа a , если в ней убрать последнюю цифру. По понятию делимости из равенства a=a 1 ·10 следует делимость числа a на 10 . Достаточность доказана.

По аналогии доказываются и признаки делимости на 100 , 1 000 и так далее.

Другие случаи делимости на 10, 100, 1 000 и т.д.

В этом пункте мы хотим показать, какие еще бывают способы доказательства делимости на 10 . Например, если число задано в виде значения какого-нибудь при некотором значении переменной, то применять признаки делимости на 10 , 100 , 1 000 часто оказывается невозможно. Поэтому приходится прибегать к другим методам решения.

Иногда показать делимость позволяет . Рассмотрим пример.

Пример.

Делится ли на 10 при любом натуральном n ?

Решение.

Число 11 можно представить в виде суммы 10+1 , после чего применить формулу бинома Ньютона:

Очевидно, полученное произведение делится на 10 , так как содержит множитель 10 , а значение выражения в скобках является натуральным числом при любом натуральном n . Следовательно, делится на 10 при любом натуральном n .

Ответ:

Да.

Другим способом доказательства делимости является . Разберем его применение на примере.

Пример.

Докажите, что делится на 10 при любом натуральном n .

Решение.

Воспользуемся методом математической индукции.